Archprokachka.ru

Арт Прокачка
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Универсальное уравнение оси изогнутой балки, вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений

Универсальное уравнение оси изогнутой балки, вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений

Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат

a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат

В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки.

Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный.

Прогиб изображение Определение прогибов углов поворота сопромати угол поворота изображение Определение прогибов углов поворота сопроматбалки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки.

Уравнение упругой линии балки на примере

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат

Определим прогиб балки на консоли при изображение Определение прогибов углов поворота сопроматм, то есть изображение Определение прогибов углов поворота сопромат. Запишем универсальное уравнение упругой линии балки :

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат

Прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю: изображение Определение прогибов углов поворота сопромат.

Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие: прогиб на правой опоре равен нулю.

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат,

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат.

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат

Прогиб консоли при z=6м:

изображение Определение прогибов углов поворота сопромат

Знак «минус» говорит: прогиб балки на консоли происходит вниз. Число, стоящее в числителе, измеряется в килоньютонах на метр в кубе (кН·м3).

Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 7.16.

Упругая линия балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов по дифференциальным зависимостям. Точка перегиба находится под сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из закона Гука при изгибе.

Формула прогиба

В статье «Расчетные схемы для балок» задается достаточно много вопросов и делается достаточно много комментариев на тему правильности той или иной формулы. Как правило я отвечаю на вопросы там же в комментариях, но на этот раз тема неординарная и я решил вынести ее в отдельную статью. К тому же в комментариях степень числа можно отобразить только как ^, а это затрудняет восприятие.

Сначала приведу переписку из комментариев касательно правильности формулы прогиба:

30-08-2020: Александр

Добрый день. В формулах прогиба однопролетной балки с одной и двумя консолями под равномерно распределенной нагрузкой у вас перепутаны знаки в скобках. Для балки с двумя консолями у вас стоит (24а 2 — 5L 2 ) должно быть наоборот (5L 2 — 24a 2 ). Во второй формуле та же ошибка.

30-08-2020: Доктор Лом

Александр, это не ошибка. Если вы внимательно читали вводную часть, то там сказано: «Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у«. Просто иногда бывают случаи (опять же в случаях с консольной балкой), когда рассматриваемое сечение действительно имеет положительный прогиб (например конец консоли поднимается вверх) и об этом следует помнить. Впрочем кому как удобнее, на окончательный результат это никак не влияет.

31-08-2020: Александр

Вводную часть я вообще не читал, мне ни к чему. Но я вас понял. Просто, я как-то не подумал, что запись формул может отличаться от тех, которым меня учили 40 лет назад. Я привык видеть прогиб направленный вниз, как положительное число и наоборот отрицательное, если вверх. У Отрешко, Мичурина, Дыховичного формулы прогиба представлены именно так, вниз — положительная величина, вверх — отрицательная. Поэтому у Отрешко формула прогиба консольной балки записана, как (5 — 24a^2/l^2)*ql^4/384EI. Прошу прощения за недопонимание.

Сначала я хотел ответить так:

«Я и сам при изучении сопромата не обращал на это внимания, как-то не до того было. Подумаешь, положительное значение прогиба откладываешь вниз, как будто это отрицательная величина, а отрицательное — вверх, как будто это положительная величина, делов-то! До сих пор так делаю, когда пользуюсь чужими формулами.

А между тем если мы дважды проинтегрируем уравнение моментов, чтобы получить формулу прогиба (как это в принципе и положено делать, если подходящей формулы нет под рукой, да и вообще для проверки точности разных справочников, в том числе и моего), то например для случая незагруженной консоли (q на консоли = 0) получим следующее уравнение прогиба для середины пролета:

Аl/2+A(l/2) 3 /6EI-q(l/2) 4 /24EI = -5ql 4 /384EI

Читайте так же:
Косгу мебель 2021

(где ΘА — начальный угол поворота сечения балки, А — опорная реакция)

Если в балке загружена только консоль нагрузкой q, а в пролете нагрузки нет, то уравнение прогиба для середины пролета будет иметь следующий вид:

(согласно формул для схемы 2.1), ну или (24a 2 /l 2 )ql 4 /384EI, чтобы привести уравнения к общему знаменателю. В итоге уравнение прогиба будет выглядеть именно так, как записано у меня.

Зачем нужно людей, изучающих сопромат, сначала пичкать формулами с измененными знаками, а потом учить откладывать положительные значения вверх, а отрицательные — вниз, при этом попутно объясняя, что вообще-то при интегрировании конечный результат будет иметь противоположный знак, я, честно говоря, не знаю.

Как по мне, то намного проще пользоваться сразу правильными формулами и откладывать отрицательные значения вниз,а положительные вверх, как этому учат на уроках математики. А с меня хватит и того, что я оставил общепринятое обозначение для углов поворота (хотя там тоже надо бы знак поменять).»

А потом передумал.

Потому что я Александра прекрасно понимаю. Тут как с английским языком, точнее не с самим языком, а правилами чтения. Когда учишь английский — поражаешься количеству правил, всем этим открытым-закрытым слогам, дифтонгам и т.д. Думаешь, какой идиот это придумал? Нет, чтоб как в русском языке — как пишется, так и читается. Но вот потом, когда язык уже выучен, он уже не кажется таким сложным. Более того на все попытки упростить правила языка реакция будет отрицательная.

Тем не менее факт остается фактом, в большинстве справочников формулы прогиба как бы не совсем правильные. Ну то есть, чтобы ими пользоваться, нужно знать, что положительное значение прогиба — это прогиб вниз, а отрицательное значение — это прогиб вверх. Но при этом это абсолютное большинство справочников.

А у меня в расчетных схемах даны вроде бы и правильные формулы, но кто такой Доктор Лом? И вот я думаю, может я действительно не прав и мне нужно давать для расчетных схем неправильные формулы, как это принято?

Не знаю, буду думать.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

В России принято рисовать эпюру моментов на растянутых волокнах, т.е при нагружении балки сверху момент изгиба получается положительным числом, но при этом он рисуется вниз! Зеркальный рисунок вносит дисбаланс со знаками "плюс-минус". Мы либо придерживаемся правильной записи и правильно рисуем эпюры моментов (на сжатых волокнах) либо придерживаемся правил записи действующих в России. Поэтому в большинстве российских справочников дается запись соответствующая визуальной картинке. Где пик момента (над или под нейтральной осью), туда и направлен изгиб. Если момент в пролете с плюсом, то и изгиб с плюсом.

Лично мне больше нравится российские правила изображения эпюры моментов, они прямо в мозгу рисуют картинку работы балки. Изначально неверная, но общепринятая в России отрисовка эпюр внесла дисбаланс между математикой и визуальным восприятием физики процесса. Если бы меня спросили, за какую запись я проголосую, то я бы остановился все-таки на "неправильной". Лично мне кажется, что визуальная картинка имеет большее влияние, чем математика. Абсолютное большинство людей уже не помнит или совсем не знает, как выводятся эти формулы, да и ни к чему им, а вот визуальная картинка и соответствующие ей знаки "плюс-минус" им важнее.

Александр, тут такое дело. Эпюру положительного момента со стороны сжатой части сечения рисуют не только буржуины, но и вполне себе отечественные конструкторы машин и механизмов (впрочем им, с учетом того, что вращающаяся ось или вал меняют свое положение несколько сотен, а то и тысяч раз в секунду — это простительно).
А вот со строителями — другое дело. Если бы я в статье с расчетными схемами приводил эпюры не только поперечных сил и изгибающих моментов, но также и эпюры углов поворота и прогибов, то скорее всего я бы рисовал эпюры моментов, как буржуины или отечественные конструкторы машин и механизмов. Это было бы более правильно с точки зрения знаков. Но.
1. В указанной статье приводится примерный вид эпюр только для поперечных сил и изгибающих моментов.
2. Инженеры-строители старого поколения не нуждаются в дополнительных эпюрах углов поворота и прогибов по той причине, что эпюра углов поворота близка к эпюре поперечных сил, а эпюра прогибов — к эпюре изгибающих моментов, но только в том случае, если эпюра моментов строится со стороны растянутой части сечения. Именно поэтому я принял решение рисовать эпюры изгибающих моментов со стороны растянутой части сечения.
Кому как удобнее и привычнее — это совсем другое дело. А еще на мой выбор повлияло то обстоятельство, что момент — это не прогиб. В том смысле, что если прогиб отрицательный — то это однозначно смещение вниз относительно оси координат у, а вот если момент отрицательный. то это просто изменение направления вращения.

Читайте так же:
Как сделать красиво углы в прихожей

Примечание: если движение в Европу продолжится, то придется привыкать к европейским стандартам построения эпюры моментов. Это ни хорошо и не плохо — это, как говорил т. Ленин: реальность, данная нам в ощущении.

Вы сами себе противоречите. "эпюра углов поворота близка к эпюре поперечных сил, а эпюра прогибов — к эпюре изгибающих моментов, но только в том случае, если эпюра моментов строится со стороны растянутой части сечения". Вы рисуете моменты на растянутой стороне и эпюры прогибов тоже, при этом моментам присваиваете знак плюс, а прогибам минус. Впрочем, это ваш сайт и ваше право. Я всего лишь показал на то, что такая запись вносит противоречит сама себе.

Александр. Вы по-прежнему очень невнимательно читаете. Цитата из предыдущего моего сообщения:
"Если бы я в статье с расчетными схемами приводил эпюры не только поперечных сил и изгибающих моментов, но также и эпюры углов поворота и прогибов, то скорее всего я бы рисовал эпюры моментов, как буржуины или отечественные конструкторы машин и механизмов. Это было бы более правильно с точки зрения знаков".

И самое главное, почему вы решили, что я присваиваю эпюрам моментов какие-то знаки? Это просто эпюры. И еще раз повторю: "если прогиб отрицательный — то это однозначно смещение вниз относительно оси координат у, а вот если момент отрицательный, то это просто изменение направления вращения". Так что никакого противоречия я в своих выводах не вижу.

Тем не менее, вы конечно же имеете право иметь свое собственное мнение и критиковать мой ресурс столько, сколько вашей душе будет угодно.

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Примеры решения задач

Для балки, показанной на рис. 4.20, а, требуется найти прогиб в сечении С, угол поворота в сечении В аналитическим способом и проверить условие жесткости, если допускаемый прогиб равен l/100. Балка выполнена из дерева и имеет поперечное сечение из трех бревен радиусом 12 см. (Подбор сечения этой балки см. в разд. 4.1.2, пример 1.)

Для определения перемещений балки аналитическим способом составим дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16), используя правила Клебша записи выражения для изгибающего момента. Начало координат в рассматриваемой задаче рациональнее выбрать справа (в заделке). Распределенную нагрузку , которая не доходит до левого конца балки, продлим до сеченияС (рис. 4.20, в). Выражение для изгибающего момента будет иметь такой вид:

.

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (4.16) и проинтегрируем его два раза:

Читайте так же:
Раскладушка своими руками из дерева

;

;

.

Рис. 4.20. К решению примера 1 аналитическим способом:

а– схема балки с нагрузками;б) эпюрыQиМ;

в– иллюстрация правил Клебша;г– изогнутая ось балки

Для определения постоянных С и D запишем граничные условия: в заделке (в сечении А, где находится начало координат) угол поворота и прогиб балки равны нулю, то есть

и .

Подставляя эти условия в выражения для угла поворота и прогиба на первом участке, найдем, что

и .

Теперь можно определить заданные перемещения. Для определения угла поворота в сечении В подставим в выражение для угла поворота на первом участке (только до черты с номером I) значение :

кНм 2 .

В соответствии с правилом знаков отрицательный знак угла поворота для выбранного начала координат х справа означает, что поворот сечения происходит по часовой стрелке.

В сечении С, где требуется найти прогиб, координата х равна , и это сечение находится на третьем участке балки, поэтому подставляемх = 4 м в выражение для прогибов, используя слагаемые на всех трех участках:

кН·м 3 .

Знак минус у найденного прогиба показывает, что сечение С перемещается вверх. Покажем найденные перемещения на изогнутой оси балки. Чтобы нарисовать ось балки после деформации, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.20, б). Положительный знак эпюры М на участке показывает, что балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном знаке М изогнутая ось имеет выпуклость вверх. Кроме того, деформированная ось балки должна удовлетворять условиям закрепления: в нашем случае на правом конце балка имеет жесткое защемление, и, как уже отмечалось при записи граничных условий, прогиб и угол поворота в защемлении должны равняться нулю. На рис. 4.20, г изображена ось рассматриваемой балки после деформации, удовлетворяющая этим условиям. На изогнутой оси показаны найденные прогиб в сечении С и угол поворота сечения В с учетом их знаков.

В заключение сосчитаем прогиб балки в сантиметрах, угол поворота в радианах и проверим условие жесткости. Найдем жесткость ЕI рассматриваемой деревянной балки из трех бревен радиусом 12 см. Момент инерции поперечного сечения

см 4 .

Модуль упругости дерева Е = 10 4 МПа = 10 3 кН / см 2 . Тогда

кН·см 2 .

Прогиб балки в сечении С

см,

а угол поворота сечения В

рад.

Очевидно (см. рис. 4.20, г), что найденный прогиб балки в сечении С является максимальным, поэтому для проверки условия жесткости сравним его с допускаемым прогибом. Для балки длиной м допускаемый прогиб согласно условиюсм. Таким образом, максимальный прогибсм меньше допускаемого, и условие жесткости выполняется.

Как нарисовать прогиб

В этом ИДЗ мы проведём полный расчёт балки на упругом основании (рис.1), находящейся под действием произвольной системы изгибающих моментов, сосредоточенных сил и равномерно распределённых нагрузок, расположенных в вертикальной плоскости.

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс сопротивления материалов. Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу: там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же выполнение ИДЗ проводится по стандартному сценарию, который обычно используется в вузах при изучении курса сопромата.

Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script. Включите их.

Данное пособие позволит вам упростить выполнение ИДЗ. Как и любой помощник, оно не избавляет вас от необходимости думать. Используя это пособие, вы получите техническую помощь, избавитесь от досадных ошибок вычислений, но понимать существо проблемы вы всё равно должны. Но не пугайтесь: если вы смогли найти эту страницу в Internet, то разобраться в выполнении этого задания сможете наверняка.

Граничные условия на каждом краю могут быть одного из трёх типов:

  1. жёсткая заделка;
  2. шарнир;
  3. свободный край.

Выберем систему координат так, как показано на рис.2.

Начало координат O поместим на левом краю, ось Oz направим вдоль оси балки, а оси Ox и Oy − вдоль главных центральных осей инерции. Все силовые факторы считаем действующими в плоскости yOz, как показано на рис.2.

Будем использовать правило знаков плюс-плюс-плюс-плюс:

  • угол поворота сечения θ есть производная от вертикального перемещения w, взятая со знаком плюс;
  • изгибающий момент в сечении M есть производная от угла поворота θ, умноженного на EJx, взятая со знаком плюс;
  • перерезывающая сила в сечении Q есть производная от изгибающего момента M, взятая со знаком плюс;
  • распределённая нагрузка q есть производная от перерезывающей силы Q, взятая со знаком плюс:
Читайте так же:
Как уложить линолеум если в комнате есть мебель

В соответствии с [1] выберем положительное направление прогиба w(z) вверх, в сторону положительного направления оси Oy, а отрицательное − вниз (рис.3).

Тогда положительные значения углов поворота θ(z) будут соответствовать возрастанию прогиба w(z), а отрицательные − убыванию (рис.4).

Изгибающий момент − это вторая производная от прогиба (с точностью до положительного множителя) и первая производная от угла поворота θ(z) (опять-таки с точностью до положительного множителя); поэтому положительное значение момента M(z) соответствует увеличению угла поворота θ(z), т.е. изгибу балочки выпуклостью вниз, а отрицательный M(z) − изгибу выпуклостью вверх (рис.5).

При построении эпюр мы будем разрезать балку в данном сечении z, отбрасывать левую часть и заменять её эквивалентной системой сил и моментов. Положительное значение M(z) (выпуклостью вниз) при этом даст момент, направленный по часовой стрелке (рис.6).

Поэтому в исходных данных сосредоточенные моменты будем задавать положительными, если они направлены по часовой стрелке.

Теперь рассмотрим правило знаков для перерезывающих сил. В соответствии с (3) положительной будем считать такую силу Q(z), которая соответствует возрастанию изгибающего момента M(z) при увеличении z. Наглядно представить себе увеличение вогнутости трудно, поэтому применим другое правило для определения знака Q(z). Заменим отрезанную левую часть такой силой, которая соответствует увеличению M(z) (рис.7). Т.к. момент равен произведению силы на плечо, то положительное значение сосредоточенной силы соответствует направлению её вверх. Такая сила стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке.

И, наконец, выведем правило знаков для распределённой нагрузки q(z). Положительная q(z) соответствует возрастанию перерезывающей силы Q(z). На рис.8 показано положительное направление q(z): вверх. Именно такое направление q(z) соответствует возрастанию Q(z).

Итак, подытожим всё вышесказанное. При задании исходных данных будем считать:

  • распределённую нагрузку q положительной, если она направлена вверх;
  • сосредоточенную нагрузку F положительной, если она направлена вверх;
  • сосредоточенный момент M положительным, если он направлен по часовой стрелке.

При построении эпюр будем руководствоваться формулами (1-4). Считаем:

  • перемещение w положительным, если оно направлено вверх;
  • положительный угол поворота θ соответствует возрастанию w;
  • положительный изгибающий момент M соответствует возрастанию θ;
  • положительная перерезывающая сила Q соответствует возрастанию M;
  • положительная распределённая нагрузка q соответствует возрастанию Q.

Краткие теоретические сведения

В соответствии с [1] выведем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Это уравнение имеет вид: вторая производная от изгибающего момента EJxw IV (z)) равна сумме всех распределённых нагрузок в данном сечении на единицу длины. Такими нагрузками будут внешние силовые факторы и реакция упругого основания. Коэффициент жёсткости упругого основания c − это сила, с которой действует упругое основание на единицу площади нижней поверхности балки при единичном прогибе основания. Поэтому размерность c будет Н/м 3 . Если обозначить ширину нижней поверхности балки через b, то

− это сила, с которой действует упругое основание на единицу длины балки при единичном прогибе. Размерность α будет Н/м 2 . Сила реакции упругого основания на единицу длины тогда будет равна αw, и направлена в сторону, противоположную прогибу. дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид:

где q(z) − обобщённая внешняя нагрузка, учитывающая все силы и моменты. Дифференциальное уравнение (6) дополняется 4 граничными условиями: по 2 на левом и правом концах, в зависимости от условий закрепления.

Решение уравнения (6) удобно записывать через функции Крылова:

Эти функции обладают свойством:

Если ввести в рассмотрение приведённую длину:

то общее решение дифференциального уравнения (6) записывается в виде:

Здесь EJxw − прогиб в левом сечении (с точностью до множителя EJx), EJxθ − угол поворота левого сечения (также с точностью до множителя EJx), M и Q − изгибающий момент и перерезывающая сила в левом сечении. Во второй строке в 1-й и 2-й суммах ak − точка приложения сосредоточенного момента или силы; в 3-й и 4-й суммах ak − начало приложения распределённой нагрузки, в bk − конец. В каждой из сумм суммирование проводится по всем силовым факторам, расположенным слева от текущего сечения.

Неизвестные начальные параметры EJxw, EJxθ, M и Q находятся из граничных условий. Всего таких условий 4: по 2 на каждом краю балочки. Составив соответствующую систему уравнений и решив её, мы найдём эти начальные параметры.

Читайте так же:
Как поставить кассовый ящик обратно

Далее последовательное дифференцирование выражения (10) даёт угол поворота:

и перерезывающую силу:

По выражениям (10-13) можно построить эпюры.

Ввод исходных данных

В данном методическом пособии можно использовать такие нагрузки:

  • сосредоточенный момент;
  • сосредоточенная сила;
  • равномерно распределённая нагрузка.

На концах можно задавать такие условия закрепления:

  • жёсткая заделка;
  • свободное опирание (шарнир);
  • свободный край.

Если в вашем вузе преподаватели задают студентам другие виды нагружения (распределённые моменты, линейную нагрузку и т.п.), промежуточные опоры или другие граничные условия (например, упругая заделка), − напишите мне, и мы вместе доработаем это пособие.

Исходными данными для выполнения этого ИДЗ являются длина балочки L, граничные условия, данные по двутавровому сечению, физические характеристики материала балки и упругого основания, и нагрузка на неё: значения M, F, q и точки (интервалы) их приложения. Заметим, что здесь сечение нужно задать заранее, его данные входят в коэффициенты дифференциального уравнения (6) через множитель α (5). Задайте исходные данные в нижеприведенных областях ввода.

Измените при необходимости эти данные:

Длина балочки L (м):
Граничное условие слева:
Граничное условие справа:
Модуль упругости E (МПа):
Жёсткость упругого основания c (Н/м 3 ):
Номер профиля двутаврового сечения:
Добавьте нужные нагрузки:

Проверьте, правильно ли вы задали исходные данные. Если да, то идём дальше.

Нахождение начальных параметров

Наша балочка является статически неопределимой: неизвестные начальные параметры не могут быть найдены из уравнений статики. Они находятся из граничных условий. Для нахождения этих 4 неизвестных начальных параметров у нас есть столько же уравнений: по 2 каких-либо параметра на каждом краю балочки равны нулю − всего 4 уравнения.

В зависимости от вида граничных условий будут равны нулю:

  1. в жёсткой заделке − перемещение и угол поворота;
  2. при шарнирном закреплении − перемещение и изгибающий момент;
  3. на свободном краю − изгибающий момент и перерезывающая сила.

Вначале найдём точки переключения аналитических выражений в формулах (10-13). Это будут: начало и конец балочки и точки приложения всех силовых факторов (для распределённой нагрузки q берём и начало, и конец приложения). Запишем также характеристики выбранного двутаврового сечения и другие необходимые для расчёта данные.

Запишем теперь систему уравнений для определения начальных параметров и решим её. Первые 2 уравнения − это граничные условия на правом конце балочки, а 3-е и 4-е уравнения − на правом конце.

Построение эпюр

Теперь, когда мы вычислили все необходимые данные для формул (10-13), строим эпюры перемещений, углов поворота, изгибающих моментов и перерезывающих сил. Вначале записываем аналитические выражения на каждом участке, а затем строим графики. Перемещения и углы поворота строим в натуральном масштабе.

Подбор сечения по условиям прочности

Найдём максимальный (по модулю) изгибающий момент Mmax и сечение, в котором он достигается (опасное сечение).

находим максимальное нормальное напряжение в опасном сечении. Проверим теперь касательные напряжения. В каждом сечении они подсчитываются по формуле Журавского:

Как правило, касательные напряжения значительно меньше нормальных в одном и том же сечении, к тому же они достигаются на разных волокнах: нормальные − на крайних, а касательные − в середине сечения. Поэтому опасными является обычно нормальные напряжения.

Нарисуем распределение нормальных и касательных напряжений по сечению. Нормальные напряжения распределены линейно, а касательные − по параболе. Мы строим эпюру распределения касательных напряжений приближённо: заменяем двутавр набором прямоугольников. Вычисляем по формуле (15) напряжения в крайних волокнах тонкой вертикальной стойки и во внутренних волокнах широкой горизонтальной полки. На стойке строим параболу, а на короткой полке ограничимся прямолинейным отрезком. Рисуем сечение , распределение нормальных и касательных напряжений в опасном сечении (там, где достигается Mmax), и распределение касательных напряжений в том сечении, где достигается Qmax.

Если максимальное напряжение не достигают допускаемого, можно подобрать более лёгкий двутавровый профиль из списка. А если, наоборот, превышает, выберите более тяжёлый.

Что делать дальше

Возможно, Вы захотите распечатать результаты. Если перебросить содержимое, например, в то формулы и графики исказятся, они сделаны не в виде рисунков, а в виде встроенных объектов. Поэтому лучше распечатывать страницу непосредственно из обозревателя.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector
Изгибающий момент M
и точка a его приложения
M (кНм):
a (м):
Сосредоточенная сила Q
и точка a её приложения
Q (кН):
a (м):
Равномерно распределённая нагрузка q
и интервал (a, b) её приложения.
q (кН/м):
a (м):
b (м):